波传播算法在量子力学中的应用及其数值演示

波传播方法是研究电磁场传播的一种常用方法，量子波传播算法是在波传播算法的基础上进行改进用以计算量子力学中薛定谔方程演化的算法。文章主要介绍了量子波传播算法的大概思路，并以一维无限深势阱、一维方势垒、含时薛定谔方程为例，给出了通用的分析过程，通过与薛定谔方程的严格解析解进行对比，并给出了微观粒子的概率波函数随时间的演化图像，验证了该算法的正确性有效性。量子波传播算法在编程方面并不复杂，具有结构简单、实用性强等特点。

低速运动的微观粒子所遵循的运动规律可以用薛定谔方程描述，这是一个和时间与位置有关的偏微分方程。对比电磁场中 TE 模式和 TM 模式的传输问题，如果我们把薛定谔方程中的时间理解为 TE 或者 TM 模式的传播方向，而把薛定谔方程中的位置理解成 TE 或者 TM 模式中与传播方向垂直的横截面坐标空间。

其中，fy ( x , y , z ) = A ( x , y , z ) exp ( -iβz)，函数 f = E，H。参数 n 是传播过程中的折射率，而 ne 则是有效折射率，k 则是波数。我们可以发现这样沿着 z 方向传播的 TE 和 TM 模式满足的方程，有对于 z 的一阶偏微商和对于 x 的二阶偏微商。这样的方程形似量子力学中描述微观粒子运动的薛定谔方程。那么在此之前接下来我们就从定量分析薛定谔方程出发，举一反三的来描述如何使用 BPM-Q 人工智能算法的。

我们研究的是量子力学书中出现的最简单的例子——一维无限深势阱问题。一维无限深势阱是量子力学中的典型问题，势阱中的束缚态波函数可以解析地给出，这是我们所熟知的。当势阱的形式较为复杂时，解析求解将变得困难，这时适宜采用数值方法。在本文中我们利用 BPM-Q 算法对一维无限深势阱中运动粒子的波函数进行了数值计算，并与严格解析解相比较，表明了 BPM-Q 算法的可靠性和正确性。结果表明，bpm-q算法能够有效地求解一维无限深势阱中的运动粒子的波函数，并且具有较高的精度。

（编辑：银川站长网）

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