复杂的量子多体系统和简易的无穷维极限

恰逢动力学平均场理论建立三十周年，D. Vollhardt教授从他在德国奥格斯堡大学的主席教授职位上退休。30年为这段成功的多体理论发展做了一个完美的注脚，它记载了很多人勤奋的付出，记载了理论和计算方法取得的惊人进步。因为这段非凡的历史，如今的我们多了一个更为可靠的处理强关联电子体系的手段、有了一个可以从头计算强关联电子材料的工具、也使得处理顺磁态成为可能。

一路从多粒子问题，转化为多电子问题，再进而转化成单电子问题的过程，其实就是前言中提到的求解多体问题的常用思路。我们面对的世界很复杂，然后我们知道的又很少。要想取得进步，最直接的办法就是把不会的问题转化成会的问题，这是一个简单的方法论问题。

为了更清晰的理解D. Vollhardt和W. Metzner要处理的问题，我们把电子运动和相互作用的哈密度量放到格点上。你也可以理解成电子运动的空间被打上了格子，电子的运动被描述为在格点间跳来跳去。电子之间遵从Pauli不相容原理，即相同的两个电子不能占据在同一个态上。电子跑来跑去有动能，电子间又存在库仑排斥力。

Hubbard模型这个电子关联问题，对我们来说仍然过于复杂，大部分时候都是找不到严格解释的。但是有一个严格的极限，我们可以知道全部本征态。这个极限就是独立格点情形。考虑前述图示中的二维平方格子，如果每个格点都是孤立的，与其他格点割裂开来的，那么动能就失去了意义。格点本身占据的情形，就自然的来讲的是作为剩余无限大势能存在的项的本征态。

由于这样的格点其实是孤立于其他格点存在的，虽然严格的计入了电子间的相互作用，但是电子动能（也可以说起动量）的信息是缺失的。因此，这种关联效应是局域的。物理学上，在单电子层次上表征电子关联的物理量叫做电子自能（也叫顶角函数，后面我们会介绍），在这个图像下它是完全局域的。但是，在多电子层次上，这个顶角函数就不是完全局域的了，因为它是局域的，所以它的表征电子关联的物理量叫做电子自能。

（编辑：银川站长网）

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